2020 수능 수학 나형 30번 문제 풀이

어렵다고 기사에 나온 2020 수능 수학 나형 30번 문제입니다.

수능에 나오는 문제는 그 분야의 전문가들 여럿이 몇 주 동안이나 감금(?) 당한채로

출제하기 때문에 문제의 퀄리티가 아주 좋다고 들었습니다.

그래서 저도 풀어보니 와 역시 문제 좋구나 하고 느낀게,

어려운 수학적 지식이 많이 필요한게 아닌데 머리를 많이 굴렸습니다.

그러면 문제 풀이를 시작하겠습니다.

가장 핵심은 함수 f(x)가 대충 어떻게 생겼는지를 알아내는 것입니다.

조건 (가), (나)에서 주어진 방정식들을 변형시키면

보이시나요?

y=f(x)의 그래프는 y=x, y=-x의 그래프와 각각 두 번씩만 만나야 됩니다. (서로 다른 실근의 개수가 2개라는 조건 때문에)

또한 f(x)는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 "~" 모양의 그래프가 됩니다.

즉, 다음 그래프에 '~'가 적절하게 들어가 각 직선에 두 번만 만나야 됩니다.

어떻게 하면 주황색 점선과 하늘색 점선에 각각 두 번씩 만나게 하는 '~' 모양 곡선을 그릴 수 있을까요?

위 그림 같이 하늘색 점선과는 1. 원점에서 접하게 만나고 2. x>0인 영역에서 한 점에서 만납니다.

주황색 점선과는 1. 원점에서 만나고 2. x>0인 영역에서 접합니다.

이제 다른 조건들을 이용해서 f(x)를 정확하게 구하겠습니다.

f'(1)=1은 x=1에서 y=f(x)의 기울기가 1이라는 뜻입니다.

원점에서 기울기가 1인 하늘색 점선과 접했으므로

y=f(x)는 원점에서 기울기가 똑같이 1입니다. (즉, f'(0)=1)

또한 원점에서 x가 +방향으로 증가하면 점점 기울기가 줄어듭니다.

그렇게 줄어들다가 어느 순간 기울기가 증가하는 것을 위 그래프에서 확인할 수 있습니다.

기울기가 감소하다가 증가하는 그 지점. 이 지점이 중요한데, 이유는 기울기는 그 함수의 값의 변화량이죠?

그럼 그 변화량의 변화량은 f''(x)인데, f'(x)가 감소하다가 증가하는 그 지점은 f''(x)가 -에서 +가 되기 위해 f''(x)=0을 거쳐가야 됩니다. 즉, 그 지점의 x값을 알면 f''(x)=0을 구할 수 있습니다.

그리고 그 지점을 변곡점이라고 부르는데, 변곡점을 중심으로 그래프는 점대칭입니다.

아까 f'(0)=1, f'(1)=1 라고 했는데, x=0와 x=1의 딱 중간인 x=1/2에 변곡점이 있습니다.

그럼 f''(1/2)=0을 이용해서 f(x)를 구하겠습니다. 

(가) 이든 (나) 이든 상관없지만, (나)에서 근이 서로 다른 실근이 2개라고 했었습니다.

f(x)가 삼차함수라서 f(x)-x도 삼차함수인데 근이 서로 다른 실근이 2개인 이유는 하나의 근이 중근을 가지기 때문입니다. 따라서 중근을 가질 수 있도록 아래의 이차식에 판별식(D=0)을 사용해서 A를 구합니다.

구한 f(x)에 3을 대입하면 f(3)=51 입니다.

감사합니다.